Foto: Neonbrand
Datum objave: 27.12.2021
Kategorija: Najodličnejši raziskovalni dosežki, Naš prispevek k ciljem trajnostnega razvoja OZN
Cilji trajnostnega razvoja: 4 Kakovostno izobraževanje (kazalniki)
Dr. Urban Jezernik s Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani ter dr. Sean Eberhard z Univerze v Cambridgeu sta podala pomemben prispevek k rešitvi Babaijeve domneve za klasične grupe velikega ranga z naključnimi generatorji.
Najbolj prodajana mehanska uganka na svetu je Rubikova kocka. Njena atraktivnost temelji na dejstvu, da se lahko kocka znajde v približno 1019 različnih možnih stanjih, po drugi strani pa lahko kocko iz vsakega od teh stanj pripeljemo do urejenega stanja z uporabo največ 20 manipulacij njenih lic. Možnosti je torej ogromno, a rešitev je vselej vsaj v teoriji kratka.
Ozadje takšnih ugank temelji na matematičnem modelu za simetrije objektov, tj. grup. Iz vsake grupe lahko sestavimo več različnih ugank. Zahtevnost uganke merimo z diametrom ustreznega Cayleyevega grafa. Vsako grupo lahko razstavimo na končne enostavne grupe in rešujemo enostavne uganke posebej. Babaijeva domneva predvideva, da bi se ti enostavni kosi morali obnašati podobno kot Rubikova kocka: rešitev uganke bi morala biti kratka. Domneva je po mnogih globokih matematičnih rezultatih znana v primeru enostavnih grup simetrij vektorskih prostorov omejenih dimenzij nad ogromnimi končnimi polji.
Doc. dr. Urban Jezernik s Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani in dr. Sean Eberhard z Univerze v Cambridgeu sta dokazala, da v odprtem primeru enostavnih grup simetrij vektorskih prostorov velikih dimenzij nad omejenimi končnimi polji Babaijeva domneva velja za skoraj vse uganke. Metoda temelji na poglobljenem študiju pričakovanih vrednosti karakterjev enostavnih grup in na presenetljivem rezultatu, da enostavni kosi delujejo na vektorjih prostora ekspanzivno.
Članek pomeni preboj pri reševanju znamenite Babaijeve domneve, katere reševanje v zadnjih letih tvori enega od osrednjih področij teorije grup. Rezultat je objavljen v Inventiones Mathematicae, eni od le treh matematičnih revij, ki igrajo vlogo pri uvrščanju na Šanghajsko lestvico univerz.
Slika: Prikaz šestih naključnih ugank, vsaka uganka temelji na enostavni grupi simetrij vektorskega prostora dimenzije 2 nad poljem moči 5. Avtor: Urban Jezernik.
Vir: Eberhard, Sean., Jezernik, Urban. Babai’s conjecture for high-rank classical groups with random generators. Invent. math. (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s00222-021-01065-x